"Первый" будет прилагательным, когда нет логичной возможности сказать "второй" (третий, четвертый...). Первый снег - второго нет. Можно быть первым учеником в классе, но вряд ли кто-то слышал про второго ученика (как и про второго парня на деревне). Артиллерия наносит первый (=опереждающий соперника) удар, второй-третий и прочие удары возможны только строго в контексте, когда идет перечисление.
Мы имеем дело с первым (в мире\городе\стране\районе) ипподромом. Потом были построены где-то второй, третий, четвертый и далее. Это не звание, не название и не устойчивый оборот, это просто констатация факта - его построили самым первым.